Historia de la Geometría
Geometría , la rama de las matemáticas que se ocupa de la forma de los objetos individuales, las relaciones espaciales entre varios objetos y las propiedades del espacio circundante . Es una de las ramas más antiguas de las matemáticas, que surgió en respuesta a problemas prácticos como los que se encuentran en la topografía , y su nombre se deriva de palabras griegas que significan “medición de la Tierra”. Con el tiempo se comprendió que la geometría no tenía por qué limitarse al estudio de superficies planas (geometría plana) y objetos tridimensionales rígidos (geometría sólida), sino que incluso los pensamientos e imágenes más abstractos podrían representarse y desarrollarse en términos geométricos.
Este artículo comienza con una breve guía de las principales ramas de la geometría y luego pasa a un extenso tratamiento histórico. Para obtener información sobre ramas específicas de la geometría, consulte geometría euclidiana , geometría analítica , geometría proyectiva , geometría diferencial , geometrías no euclidianas y topología .
Ramas Principales De La Geometría
Geometría euclidiana
En varias culturas antiguas se desarrolló una forma de geometría adecuada a las relaciones entre longitudes, áreas y volúmenes de los objetos físicos. Esta geometría se codificó en los Elementos de Euclides alrededor del año 300 a. C. sobre la base de 10 axiomas, o postulados, a partir de los cuales se probaron varios cientos de teoremas mediante la lógica deductiva. Los Elementos personificaron el método axiomático-deductivo durante muchos siglos.
Geometría analítica
La geometría analítica fue iniciada por el matemático francés René Descartes (1596-1650), quien introdujo coordenadas rectangulares para localizar puntos y permitir que las líneas y curvas se representaran con ecuaciones algebraicas. La geometría algebraica es una extensión moderna del tema a espacios multidimensionales y no euclidianos.
Geometría proyectiva
La geometría proyectiva se originó con el matemático francés Girard Desargues (1591-1661) para tratar las propiedades de las figuras geométricas que no se alteran al proyectar su imagen, o “sombra”, sobre otra superficie .
Geometría diferencial
El matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777-1855), en relación con problemas prácticos de topografía y geodesia, inició el campo de la geometría diferencial. Utilizando cálculo diferencial , caracterizó las propiedades intrínsecas de curvas y superficies. Por ejemplo, demostró que la curvatura intrínseca de un cilindro es la misma que la de un plano, como se puede ver al cortar un cilindro a lo largo de su eje y aplanarlo, pero no la misma que la de una esfera , que no se puede aplanar sin distorsión.
Geometrías no euclidianas
A partir del siglo XIX, varios matemáticos sustituyeron por alternativas al postulado paralelo de Euclides , que, en su forma moderna, dice: “dada una línea y un punto que no está en la línea, es posible trazar exactamente una línea a través del punto dado paralelo a la línea.” Esperaban demostrar que las alternativas eran lógicamente imposibles. En cambio, descubrieron que existen geometrías no euclidianas consistentes.
Topología
La topología, la rama más joven y sofisticada de la geometría, se centra en las propiedades de los objetos geométricos que permanecen sin cambios tras la deformación continua: encogimiento, estiramiento y plegado, pero no desgarro. El continuo desarrollo de la topología se remonta a 1911, cuando el matemático holandés LEJ Brouwer (1881-1966) introdujo métodos generalmente aplicables al tema.
Historia De La Geometría
Los primeros ejemplos inequívocos conocidos de registros escritos, que datan de Egipto y Mesopotamia alrededor del 3100 a. C., demuestran que los pueblos antiguos ya habían comenzado a idear reglas y técnicas matemáticas útiles para inspeccionar áreas terrestres, construir edificios y medir contenedores de almacenamiento. A partir del siglo VI a. C. , los griegos reunieron y ampliaron este conocimiento práctico y, a partir de él, generalizaron el tema abstracto ahora conocido como geometría, a partir de la combinación de las palabras griegas geo (“Tierra”) y metron (“medida”) para la medición. de la tierra.
Además de describir algunos de los logros de los antiguos griegos, en particular el desarrollo lógico de Euclides de la geometría en los Elementos , este artículo examina algunas aplicaciones de la geometría a la astronomía , la cartografía y la pintura desde la Grecia clásica hasta el Islam medieval y la Europa del Renacimiento. Concluye con una breve discusión de las extensiones de geometrías multidimensionales y no euclidianas en la era moderna.
Geometría antigua: práctica y empírica
El origen de la geometría radica en las preocupaciones de la vida cotidiana. El relato tradicional, conservado en la Historia de Herodoto (siglo V a. C. ), atribuye a los egipcios la invención de la agrimensura para restablecer el valor de las propiedades después de la inundación anual del Nilo. De igual forma, el afán por conocer los volúmenes de figuras sólidas derivó de la necesidad de evaluar tributos, almacenar petróleo y grano, y construir presas y pirámides. Incluso los tres problemas geométricos abstrusos de la antigüedad (doblar un cubo , trisecar un ángulo y cuadrar un círculo , todos los cuales se discutirán más adelante) probablemente surgieron de cuestiones prácticas, de rituales religiosos, cronometraje y construcción., respectivamente, en sociedades pre-griegas del Mediterráneo. Y el tema principal de la geometría griega posterior, la teoría de las secciones cónicas , debió su importancia general, y quizás también su origen, a su aplicación a la óptica y la astronomía.
Si bien muchos individuos antiguos, conocidos y desconocidos, contribuyeron al tema, ninguno igualó el impacto de Euclides y su Elementos de geometría, un libro que ahora tiene 2.300 años y objeto de un estudio tan doloroso y minucioso como la Biblia. Se sabe mucho menos sobre Euclides , sin embargo, que sobre Moisés. De hecho, lo único que se sabe con bastante confianza es que Euclides enseñó en la Biblioteca de Alejandría durante el reinado de Ptolomeo I (323-285 / 283 a. C. ). Euclides escribió no solo sobre geometría, sino también sobre astronomía y óptica y quizás también sobre mecánica y música. Solo los Elementos , que fueron copiados y traducidos extensamente, han sobrevivido intactos.
Los Elementos de Euclides estaban tan completos y escritos con tanta claridad que literalmente borraron el trabajo de sus predecesores. Lo que se conoce sobre la geometría griega antes que él proviene principalmente de fragmentos citados por Platón y Aristóteles y por matemáticos y comentaristas posteriores. Entre otros objetos preciosos que conservaron se encuentran algunos resultados y el enfoque general de Pitágoras ( c. 580 – c. 500 a . C. ) y sus seguidores. Los pitagóricos se convencieron a sí mismos de que todas las cosas son o deben sus relaciones a números. La doctrina le dio a las matemáticas una importancia suprema en la investigación y comprensión del mundo. Platón desarrolló una visión similar, y los filósofos influenciados por Pitágoras o Platón a menudo escribieron extasiados sobre la geometría como clave para la interpretación del universo . Así, la geometría antigua se asoció con lo sublime para complementar sus orígenes terrenales y su reputación como modelo de razonamiento preciso.
Encontrar el ángulo recto
Los constructores y topógrafos antiguos necesitaban poder construir ángulos rectos en el campo a pedido. El método empleado por los egipcios les valió el nombre de “tiradores de cuerdas” en Grecia, aparentemente porque empleaban un cuerda para trazar sus pautas de construcción. Una forma en que podrían haber empleado una cuerda para construir triángulos rectángulos era marcar una cuerda enrollada con nudos de modo que, cuando se sujetara por los nudos y se tensara, la cuerda debía formar un triángulo rectángulo. La forma más sencilla de realizar el truco es tomar una cuerda de 12 unidades de largo, hacer un nudo a 3 unidades de un extremo y otras 5 unidades del otro extremo, y luego anudar los extremos para formar un bucle, como se muestra en la figura. animación. Sin embargo, los escribas egipcios no nos han dejado instrucciones sobre estos procedimientos y mucho menos ningún indicio de que supieran generalizarlos para obtener el teorema de Pitágoras.: el cuadrado de la línea opuesta al ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. De manera similar, las escrituras védicas de la antigua India contienen secciones llamadas sulvasutra s, o “reglas de la cuerda”, para la ubicación exacta de los altares de sacrificio. Los ángulos rectos requeridos se hicieron con cuerdas marcadas para dar las tríadas (3, 4, 5) y (5, 12, 13).
En tablillas de arcilla babilónicas ( c. 1700-1500 a . C. ) los historiadores modernos han descubierto problemas cuyas soluciones indican que el teorema de Pitágoras y algunas tríadas especiales se conocían más de mil años antes de Euclides. Sin embargo, es muy poco probable que un triángulo rectángulo hecho al azar tenga todos sus lados medibles por la misma unidad, es decir, cada lado un número entero múltiplo de alguna unidad común de medida. Este hecho, que fue un shock cuando fue descubierto por los pitagóricos, dio lugar al concepto y la teoría de la inconmensurabilidad .
Localizar lo inaccesible
Por tradición antigua, Tales de Mileto , que vivió antes de Pitágoras en el siglo VI a. C. , inventó una forma de medir alturas inaccesibles, como las pirámides egipcias. Aunque ninguno de sus escritos sobrevive, Tales bien pudo haber sabido acerca de una observación babilónica de que para triángulos similares (triángulos que tienen la misma forma pero no necesariamente del mismo tamaño) la longitud de cada lado correspondiente aumenta (o disminuye) por el mismo múltiplo. En la figura se muestra una determinación de la altura de una torre utilizando triángulos similares. Los chinos antiguos llegaron a medidas de alturas y distancias inaccesibles por otra ruta, utilizando rectángulos “complementarios”, como se ve en la siguiente figura , que puede mostrarse que da resultados equivalentes a los del método griego que involucra triángulos.
Estimando la riqueza
Una tablilla cuneiforme babilónica escrita hace unos 3.500 años trata problemas sobre presas, pozos, relojes de agua y excavaciones. También tiene un ejercicio sobre recintos circulares con un valor implícito de π = 3. El contratista de la piscina del rey Salomón, que hizo un estanque de 10 codos de ancho y 30 codos de diámetro (1 Reyes 7:23), usó el mismo valor. Sin embargo, los hebreos deberían haber tomado su π de los egipcios antes de cruzar el Mar Rojo , porque el Papiro Rhind ( c. 2000 AC ; el testimonio principal de las matemáticas del antiguo Egipto) implica π = 3,1605.
El conocimiento del área de un círculo era de valor práctico para los funcionarios que realizaban un seguimiento del tributo del faraón, así como para los constructores de altares y piscinas. Ahmes , el escriba que copió y anotó el papiro de Rhind ( c. 1650 a . C. ), tiene mucho que decir sobre los graneros y las pirámides cilíndricas, enteras y truncadas. Podía calcular sus volúmenes y, como se desprende de su toma del seked egipcio , la distancia horizontal asociada con una elevación vertical de un codo, como la cantidad definitoria de la pendiente de la pirámide, sabía algo sobre triángulos similares.